等距变换
等距变换 (Isometric Transformation) 保持欧氏距离不变。
等距变换就是对图像的旋转和平移。
- 变换矩阵
其中 $R$ 是单位旋转矩阵，$t$ 是平移向量，$\epsilon=\pm1$, 当$\epsilon=1$时保向，变换由旋转和平移组成，当$\epsilon=-1$时逆向，变换还包含一个镜像。
- 不变量：长度，角度，面积
- 自由度：3个自由度（1个旋转角+2个平移），至少需要2组点共4个方程求解。
相似变换
相似变换（Similarity Transformation）是在等距变换的基础上加上一个缩放。
等距变换就是对图像的旋转+平移+缩放。
- 变换矩阵
其中 $R$ 是单位旋转矩阵，$t$ 是平移向量, $s$ 是缩放因子。
- 不变量：角度，长度的比例，面积的比例，平行线关系
- 自由度：4个自由度（1个旋转角+2个平移+1个缩放尺度），至少需要2组点4个方程求解.
仿射变换
仿射变换（Affine Transformation）
仿射变换就是对图像的旋转+平移+缩放+切变（shear），相比前两种变换图像的形状发生了改变，但是原图中的平行线仍然保持平行。
- 变换矩阵
其中 $A$ 是仿射矩阵，$t$ 是平移向量。
仿射变换的 $A$ 矩阵可以做SVD分解，即
所以仿射变换 $A$ 可以看成先旋转 $\phi$，再沿着 $x, y$ 方向按照比例 $\lambda_1, \lambda_2$ 进行缩放，然后再旋转 $-\phi$，最后旋转 $\theta$。
- 不变量：平行线关系，平行线长度的比例，面积的比例
- 自由度：6个自由度（2个旋转角+2个平移+2个缩放因子），至少需要3组点6个方程求解.
投影变换
投影变换（Projective Transformation）又叫2D homographies，是把点从一个平面映射到另一个平面，如世界坐标系下的平面到相机的成像平面。
投影变换就是对图像的旋转+平移+缩放+切变+射影，相比前三种变换图像的形变更为自由，原图中的平行线经过变换之后已经不在平行，而可能相交于一点，射影变换就是把理想点（平行直线在无穷远处相交）变换到图像上。
- 变换矩阵
其中 $A$ 是仿射矩阵，$t$ 是平移向量，$v=(v_1, v_2)^T$，$c$ 是一个常数。
- 不变量：长度的交比（比例的比例）
- 自由度：8个自由度（2个旋转角+2个平移+2个缩放因子+2个无穷远的线），至少需要4组点8个方程求解.
对于理想点 $(x_1,x_2,0)^T$ 的映射:
所以对于仿射变换，$v=0$，所有的理想点仍然被映射到理想点，对于投影变换，$v\neq 0$，一些理想点被映射到无穷远处。
