神经网络激活函数

Activation Function Curves

深度学习的基本原理是基于人工神经网络，信号从一个神经元进入，经过非线性的activation function，传入到下一层神经元；再经过该层神经元的activate，继续往下传递，如此循环往复，直到输出层。正是由于这些非线性函数的反复叠加，才使得神经网络有足够的capacity来抓取复杂的pattern，在各个领域取得state-of-the-art的结果。显而易见，activation function在深度学习中举足轻重，也是很活跃的研究领域之一。目前来讲，选择怎样的activation function不在于它能否模拟真正的神经元，而在于能否便于优化整个深度神经网络。下面我们简单聊一下各类函数的特点以及为什么现在优先推荐ReLU函数。

sigmoid

$\sigma(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$

sigmoid function

Sigmoid函数是深度学习领域开始时使用频率最高的activation function。它是便于求导的平滑函数，其导数为$\sigma(x)(1-\sigma(x))$，这是优点。然而，Sigmoid有三大缺点：

容易出现gradient vanishing
函数输出并不是zero-centered
幂运算相对来讲比较耗时

Gradient Vanishing
优化神经网络的方法是Back Propagation，即导数的后向传递：先计算输出层对应的loss，然后将loss以导数的形式不断向上一层网络传递，修正相应的参数，达到降低loss的目的。 Sigmoid函数在深度网络中常常会导致导数逐渐变为0，使得参数无法被更新，神经网络无法被优化。原因在于两点：

在上图中容易看出，当$\sigma(x)$中$x$较大或较小时，导数接近0，而后向传递的数学依据是微积分求导的链式法则，当前层的导数需要之前各层导数的乘积，几个小数的相乘，结果会很接近0
Sigmoid导数的最大值是0.25，这意味着导数在每一层至少会被压缩为原来的1/4，通过两层后被变为1/16，…，通过10层后为1/1048576。请注意这里是“至少”，导数达到最大值这种情况还是很少见的。

输出不是zero-centered
Sigmoid函数的输出值恒大于0，这会导致模型训练的收敛速度变慢。举例来讲，对$\sigma(\sum_i w_i x_i + b)$，如果所有$x_i$均为正数或负数，那么其对$w_i$的导数总是正数或负数，这会导致如下图红色箭头所示的阶梯式更新，这显然并非一个好的优化路径。深度学习往往需要大量时间来处理大量数据，模型的收敛速度是尤为重要的。所以，总体上来讲，训练深度学习网络尽量使用zero-centered数据 (可以经过数据预处理实现) 和zero-centered输出。
sigmoid function

幂运算相对耗时
相对于前两项，这其实并不是一个大问题，我们目前是具备相应计算能力的，但面对深度学习中庞大的计算量，最好是能省则省。之后我们会看到，在ReLU函数中，需要做的仅仅是一个thresholding，相对于幂运算来讲会快很多。

tanh

$\tanh(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

sigmoid function

tanh读作Hyperbolic Tangent(双曲正切函数)，如上图所示，它解决了zero-centered的输出问题，然而，gradient vanishing的问题和幂运算的问题仍然存在。

ReLU (Rectified Linear Unit)

$\text{ReLU}(x) = \max(0, x)$

sigmoid function
ReLU函数其实就是一个取最大值函数，注意这并不是全区间可导的，但是我们可以取sub-gradient，如上图所示。ReLU虽然简单，但却是近几年的重要成果，有以下几大优点：

解决了gradient vanishing问题 (在正区间)
计算速度非常快，只需要判断输入是否大于0
收敛速度远快于sigmoid和tanh

ReLU也有几个需要特别注意的问题：

ReLU的输出不是zero-centered
Dead ReLU Problem，指的是某些神经元可能永远不会被激活，导致相应的参数永远不能被更新。有两个主要原因可能导致这种情况产生:
- 非常不幸的参数初始化，这种情况比较少见
- learning rate太高导致在训练过程中参数更新太大，不幸使网络进入这种状态。解决方法是可以采用Xavier初始化方法，以及避免将learning rate设置太大或使用adagrad等自动调节learning rate的算法。

尽管存在这两个问题，ReLU目前仍是最常用的activation function，在搭建人工神经网络的时候推荐优先尝试！

Leaky ReLU

$f(x) = \max(0.01x, x)$

sigmoid function

人们为了解决Dead ReLU Problem，提出了将ReLU的前半段设为$0.01x$而非0。另外一种直观的想法是基于参数的方法，即Parametric ReLU: $f(x) = \max(\alpha x, x)$，其中$\alpha$可由back propagation学出来。理论上来讲，Leaky ReLU有ReLU的所有优点，外加不会有Dead ReLU问题，但是在实际操作当中，并没有完全证明Leaky ReLU总是好于ReLU。

ELU (Exponential Linear Units)

$f(x) = \begin{cases} x, \qquad \qquad \text{if} \,x>0 \\ \alpha(e^x-1), \,\,\; \textrm{otherwise} \end{cases}$

sigmoid function

ELU也是为解决ReLU存在的问题而提出，显然，ELU有ReLU的基本所有优点，以及:

不会有Deal ReLU问题
输出的均值接近0，zero-centered

它的一个小问题在于计算量稍大。类似于Leaky ReLU，理论上虽然好于ReLU，但在实际使用中目前并没有好的证据ELU总是优于ReLU。